Question

2．A高校自主招生設置了先后三道程序，部分高校聯合考試、本校專業(yè)考試、本校面試，在每道程序中，設置三個成績等級：優(yōu)、良、中，若考生在某道程序中獲得“中”，則該考生在本道程序中不通過，且不能進入下面的程序，考生只有全部通過三道程序，自主招生考試才算通過，某中學學生甲參加A高校自主招生考試，已知該生在每道程序中得優(yōu)、良、中的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（1）求學生甲能通過A高校自主招生考試的概率；
（2）求學生甲在本次自主招生中獲優(yōu)次數為0的概率；
（3）設ξ為學生甲在本次自主招生中通過的程序次數，求ξ得分布列及ξ的期望．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出學生甲能通過A高校自主招生考試的概率．
（2）利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出學生甲在本次自主招生中獲優(yōu)次數為0的概率；
（3）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答 解：（1）由題意，學生甲能通過A高校自主招生考試的概率：
p₁=$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$；
（2）學生甲在本次自主招生中獲優(yōu)次數為0的概率：
p₂=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{9}{16}$；
（3）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$

Eξ=$0×\frac{1}{4}+1×\frac{3}{16}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{27}{64}$=$\frac{111}{64}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運用．