Question

2．A高校自主招生設(shè)置了先后三道程序，部分高校聯(lián)合考試、本校專(zhuān)業(yè)考試、本校面試，在每道程序中，設(shè)置三個(gè)成績(jī)等級(jí)：優(yōu)、良、中，若考生在某道程序中獲得“中”，則該考生在本道程序中不通過(guò)，且不能進(jìn)入下面的程序，考生只有全部通過(guò)三道程序，自主招生考試才算通過(guò)，某中學(xué)學(xué)生甲參加A高校自主招生考試，已知該生在每道程序中得優(yōu)、良、中的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（1）求學(xué)生甲能通過(guò)A高校自主招生考試的概率；
（2）求學(xué)生甲在本次自主招生中獲優(yōu)次數(shù)為0的概率；
（3）設(shè)ξ為學(xué)生甲在本次自主招生中通過(guò)的程序次數(shù)，求ξ得分布列及ξ的期望．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出學(xué)生甲能通過(guò)A高校自主招生考試的概率．
（2）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出學(xué)生甲在本次自主招生中獲優(yōu)次數(shù)為0的概率；
（3）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題意，學(xué)生甲能通過(guò)A高校自主招生考試的概率：
p₁=$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$；
（2）學(xué)生甲在本次自主招生中獲優(yōu)次數(shù)為0的概率：
p₂=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{9}{16}$；
（3）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$

Eξ=$0×\frac{1}{4}+1×\frac{3}{16}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{27}{64}$=$\frac{111}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．