Question

（1）把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，求不同的分法種數(shù)
（2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，求不同的取法的種數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：（1）本題可以采用‘擋板法”來解題，任選三個(gè)插入擋板把數(shù)分成四組，把兩個(gè)連續(xù)的空未插入擋板出現(xiàn)三個(gè)數(shù)字相連的情況去掉，把分成的四部分在四個(gè)位置上排列，得到結(jié)果．
（2）由題意知從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點(diǎn)共面的情況有三類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上；取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果即可得答案．

解答： （1）解：∵要把6張票分給4個(gè)人，∴要把票分成四份，
∵1，2，3，4，5，6之間有五個(gè)空，
任選三個(gè)插入擋板把數(shù)分成四組共有C₅³種結(jié)果，
其中如果有兩個(gè)連續(xù)的空未插入擋板，則出現(xiàn)三個(gè)數(shù)字相連，
共有4種情況要排除掉（具體為第一、二；第二、三；第三、四；第四、五空隙未插擋板）
把分成的四部分在四個(gè)位置上排列，
∴有（C₅³-4）×A₄⁴=144，
（2）：10個(gè)點(diǎn)任取4個(gè)點(diǎn)取法有

C

4 10

種，其中面ABC內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任意4點(diǎn)都共面，從這6點(diǎn)中任取4點(diǎn)有

C

4 6

種，同理在其余3個(gè)面內(nèi)也有

C

4 6

種，又每條棱與相對(duì)棱中點(diǎn)共面有6種，各棱中點(diǎn)中4點(diǎn)共面的有3種，故10個(gè)點(diǎn)中取4點(diǎn)，不共面的取法共有

C

4 10

-4

C

4 6

-6-3=141種．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)限制條件比較多的問題，是一個(gè)實(shí)際問題，排列組合問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)要求做到兼顧所有的條件，先排約束條件多的元素，做到不重不漏，注意實(shí)際問題本身的限制條件．