Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：甲：f（3）=1；乙：函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；丙：函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對(duì)稱；�。喝鬽∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在0，6]上所有根之和為4，其中結(jié)論正確的同學(xué)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式的關(guān)系，得到函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系，從而得到函數(shù)的中心對(duì)稱和軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到本題的相關(guān)結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=-f（x）．
∵函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），
∴f（x-8）=-f（x-4），
∴f（x-8）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為8．
（1）命題甲
∵f（x-4）=-f（x），
∴f（3）=-f（-1）=f（1）．
∵x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1，
∴f（3）=1．
∴命題甲正確；
（2）命題乙
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增．
∵f（-2+x）=-f（2-x）=f[（2-x）-4]=f（-2-x），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)．
∴命題乙正確．
（3）命題丙
∵f（4-x）=-f（x-4）=-f（x-4+8）=-f（4+x）
∴由點(diǎn)（4-x，f（4-x））與點(diǎn)（4+x，f（4+x））關(guān)于（4，0）對(duì)稱，
知：函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（4，0）中心對(duì)稱．
假設(shè)函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對(duì)稱，
則函數(shù)f（x）=0，與題意不符，
∴命題丙不正確．
（4）命題丁
∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，0≤f（x）≤log₂3．
∵f（2-x）=-f（x-2）=f（x-2-4）=f（x-6）=f（2+x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
∴函數(shù)f（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，0≤f（x）≤log₂3．
∵函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（4，0）中心對(duì)稱，
∴當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，-log₂3≤f（x）≤0．
∴當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[0，6]上所有根有兩個(gè)，且關(guān)于2對(duì)稱，
故x₁+x₂=4．
∴命題丁正確．
故答案為：甲、乙、�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性與函數(shù)圖象的關(guān)系，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中檔題．