Question

9．如圖在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且2AB=2AD=CD=4，現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作矩形ADEF，然后沿邊AD將矩形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直．

（1）求證：BC⊥平面BDE；
（2）若點(diǎn)D到平面BEC的距離為$\sqrt{2}$，求三棱錐F-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知利用面面垂直的性質(zhì)可得ED⊥BC，求解直角三角形可得BC⊥BD，再由線面垂直的判斷得答案；
（2）設(shè)DE=x，利用V_D-BEC=V_E-BDC求得x值，再利用V_F-BDE=V_B-EFD求得三棱錐F-BDE的體積．

解答 （1）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD． 
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，得ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BD=2$\sqrt{2}$． 
在△BCD中，BC=BD=2$\sqrt{2}$，CD=4，∴BD²+BC²=CD²．
∴BC⊥BD，又DE∩BD=D，
∴BC⊥平面BDE；
（2）解：∵BC⊥平面BDE，∴BC⊥BE，則$BE=\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$，
設(shè)DE=x，則${V}_{D-BEC}=\frac{1}{3}{S}_{△BEC}×\sqrt{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{8+{x}^{2}}$×$\sqrt{2}$=V_E-BDC，
又${V}_{E-BDC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}x$，
聯(lián)立解得x=$\frac{\sqrt{24}}{3}$．
∴${V}_{F-BDE}={V}_{B-EFD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{24}}{3}×2=\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的判斷，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．