Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點為F（c，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓${x^2}+{y^2}=\frac{b^2}{4}$截得的線段的長為c，則直線FM的斜率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由右焦點為F（c，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求出a，b，c的關(guān)系．利用F（c，0）設(shè)直線與圓的相交的弦長公式，建立關(guān)系即可得到答案．

解答 解：由左焦點為F（c，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，可得：c=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，$^{2}=\frac{2}{3}{a}^{2}$
設(shè)直線方程為y=k（x-c）與圓相交：
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{^{2}}{4}}\\{y=kx-kc}\end{array}\right.$，整理：$（1+{k}^{2}）{x}^{2}-2{k}^{2}cx+{k}^{2}{c}^{2}-\frac{^{2}}{4}=0$
那么：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}c}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{{k}^{2}{c}^{2}-\frac{^{2}}{4}}{1+{k}^{2}}$，
由弦長公式可得：c=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
化簡：c²=$\frac{4{k}^{4}{c}^{2}-4{k}^{2}{c}^{2}-^{2}}{1+{k}^{2}}$．
由c=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，$^{2}=\frac{2}{3}{a}^{2}$．
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的基本性質(zhì)abc的關(guān)系，直線與圓的弦長公式以及化簡能力．屬于難題．