已知在△ABC中，若3cos2
A-B
2
+5cos2
C
2
=4，則tanC的最大值為
 
．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用
專題：計算題,解三角形
分析：在△ABC中，化簡條件可得3cos（A-B）+5cosC=0，tanAtanB=
1
4
，再利用基本不等式求得tanA+tanB的最小值．求得-tanC=tan（A+B）的最小值，可得tanC的最大值．
解答： 解：在△ABC中，∵3cos2
A-B
2
+5cos2
C
2
=4，
即3×
1+cos(A-B)
2
+5×
1+cosC
2
=4，
化簡可得 3cos（A-B）+5cosC=0，
∴（3cosAcosB+3sinAsinB）-（5cosAcosB-5sinAsinB）=0，
∴-2cosAcosB+8sinAsinB=0，
∴4sinAsinB=cosAcosB，
∴tanAtanB=
1
4
．
很明顯，tanA、tanB同號，又tanA、tanB最多有一個小于0，
∴tanA、tanB均為正數(shù)，
∴tanA+tanB≥2
tanAtanB
=1，
又tanC=-tan（A+B），
∴-tanC=tan（A+B）=
tanA+tanB
1-tanAtanB
≥
1
1-
1
4
=
4
3
，
∴tanC≤-
4
3
，
∴tanC的最大值為-
4
3
，
故答案為：-
4
3
．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和差的三角函數(shù)，基本不等式的應用，綜合性較強，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）滿足以下兩條規(guī)則：
①在區(qū)間D上的任何取值都有意義；
②對于區(qū)間D上的任意n個值x1，x2，x3，…，xn，總滿足
f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)
n
≥f（
x1+x2+x3+…+xn
n
）．
我們稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的凹函數(shù)．那么，下列函數(shù)中是區(qū)間[0，
π
2
]上的凹函數(shù)的個數(shù)是（　�。�
（1）f（x）=sin x；（2）f（x）=-cos x；（3）f（x）=tan（x+
π
4
）；（4）f（x）=
3
sin（2x-
π
3
）．
A、1B、2C、3D、4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a2=b（b+c），則
a
b
的取值范圍是（　　）
A、（0，2）
B、（1，2）
C、（1，
3
）
D、（
3
，2）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若點（3，1）和（-4，6）分別在直線
x
2
-
y
3
=
a
6
的兩側，則實數(shù)a的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若l，n是兩條互不相同的空間直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列命題中為真命題的是
 
（填所有正確答案的序號）．
①若α∥β，l?α，n?β，則l∥n；        
②若l⊥α，n∥α，則l⊥n；
③若α⊥β，l⊥β，則l∥α；              
④若l⊥α，l∥β，則α⊥β．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線m和平面α，β，則下列四個命題中正確的是（　　）
A、若α⊥β，m?β，則m⊥α
B、若α∥β，m∥α，則m∥β
C、若α∥β，m⊥α，則m⊥β
D、若m∥α，m∥β，則α∥β

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P為拋物線y=x2上的動點，定點A（a，0）關于P點的對稱點是Q．求點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a1=1，又a1，a2，a5成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的公差；
（Ⅱ）設bn=
1
anan+1
，求數(shù)列{bn}的前n項和．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1、F2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點F1關于漸近線的對稱點恰好落在以F2為圓心，|OF2|為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（　�。�
A、
2
B、
3
C、2
D、3

查看答案和解析>>

同步練習冊答案