Question

已知在△ABC中，若3cos²

A-B

2

+5cos²

C

2

=4，則tanC的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：在△ABC中，化簡(jiǎn)條件可得3cos（A-B）+5cosC=0，tanAtanB=

1

4

，再利用基本不等式求得tanA+tanB的最小值．求得-tanC=tan（A+B）的最小值，可得tanC的最大值．

解答： 解：在△ABC中，∵3cos²

A-B

2

+5cos²

C

2

=4，
即3×

1+cos(A-B)

2

+5×

1+cosC

2

=4，
化簡(jiǎn)可得 3cos（A-B）+5cosC=0，
∴（3cosAcosB+3sinAsinB）-（5cosAcosB-5sinAsinB）=0，
∴-2cosAcosB+8sinAsinB=0，
∴4sinAsinB=cosAcosB，
∴tanAtanB=

1

4

．
很明顯，tanA、tanB同號(hào)，又tanA、tanB最多有一個(gè)小于0，
∴tanA、tanB均為正數(shù)，
∴tanA+tanB≥2

tanAtanB

=1，
又tanC=-tan（A+B），
∴-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

≥

1

1- 1 4

=

4

3

，
∴tanC≤-

4

3

，
∴tanC的最大值為-

4

3

，
故答案為：-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的三角函數(shù)，基本不等式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．