13.已知點(diǎn)F為拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn),A,B,D為拋物線C上三點(diǎn),且點(diǎn)A在第一象限,直線AB經(jīng)過點(diǎn)F,BD與拋物線C在點(diǎn)A處的切線平行,點(diǎn)M為BD的中點(diǎn).
(1)證明:AM與y軸平行;
(2)求△ABD面積S的最小值.
分析 (1)設(shè)出A,B,D三點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)kBD=y′${|}_{x={x}_{0}}$列方程.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出M的橫坐標(biāo)即可;
(2)求出直線BD的方程,求出AM和B到直線AM的距離,則S△ABD=2S△ABM,求出S關(guān)于xA的函數(shù),利用基本不等式求出函數(shù)的最小值.
解答
證明:(1)設(shè)A(x0,$\frac{1}{4}$x02),B(x1,$\frac{1}{4}$x12),D(x2,$\frac{1}{4}$x22).(x0>0)
由x2=4y得y=$\frac{1}{4}$x2,
∴y′=$\frac{x}{2}$,
∴kBD=$\frac{{x}_{0}}{2}$,
又kBD=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$,
∴$\frac{{x}_{0}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$,
∴xM=x0.
∴AM與y軸平行.
解:(2)F(0,1),
∴kAF=$\frac{{x}_{0}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$,kBF=$\frac{{x}_{1}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$.
∵A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線,
∴kAF=kBF,
∴$\frac{{x}_{0}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{1}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$,整理得(x0x1+4)(x0-x1)=0,
∵x0-x1≠0,
∴x0x1=-4,即x1=-$\frac{4}{{x}_{0}}$.
直線BD的方程為y=$\frac{{x}_{0}}{2}$(x-x1)+$\frac{1}{4}$x12,
∴yM=$\frac{{x}_{0}}{2}$(x0-x1)+$\frac{1}{4}$x12=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{1}{4}$x12+2=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2.
由(1)得S△ABD=2S△ABM=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2-$\frac{1}{4}$x02|×|x1-x0|
=|$\frac{1}{4}$x02+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2|×|x0+$\frac{4}{{x}_{0}}$|=$\frac{1}{4}$(x0+$\frac{4}{{x}_{0}}$)3≥16,
當(dāng)且僅當(dāng)x0=$\frac{4}{{x}_{0}}$即x0=2時等號成立,
∴S的最小值為16.
點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,屬于中檔題.