Question

13．已知點F為拋物線C：x²=4y的焦點，A，B，D為拋物線C上三點，且點A在第一象限，直線AB經(jīng)過點F，BD與拋物線C在點A處的切線平行，點M為BD的中點．
（1）證明：AM與y軸平行；
（2）求△ABD面積S的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，B，D三點坐標，根據(jù)k_BD=y′${|}_{x={x}_{0}}$列方程．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出M的橫坐標即可；
（2）求出直線BD的方程，求出AM和B到直線AM的距離，則S_△ABD=2S_△ABM，求出S關(guān)于x_A的函數(shù)，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值．

解答 證明：（1）設(shè)A（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），B（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），D（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²）．（x₀＞0）
由x²=4y得y=$\frac{1}{4}$x²，
∴y′=$\frac{x}{2}$，
∴k_BD=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
又k_BD=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$，
∴$\frac{{x}_{0}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$，
∴x_M=x₀．
∴AM與y軸平行．
解：（2）F（0，1），
∴k_AF=$\frac{{x}_{0}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$，k_BF=$\frac{{x}_{1}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$．
∵A，B，F(xiàn)三點共線，
∴k_AF=k_BF，
∴$\frac{{x}_{0}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{1}}{4}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$，整理得（x₀x₁+4）（x₀-x₁）=0，
∵x₀-x₁≠0，
∴x₀x₁=-4，即x₁=-$\frac{4}{{x}_{0}}$．
直線BD的方程為y=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x-x₁）+$\frac{1}{4}$x₁²，
∴y_M=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x₀-x₁）+$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{1}{4}$x₁²+2=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2．
由（1）得S_△ABD=2S_△ABM=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2-$\frac{1}{4}$x₀²|×|x₁-x₀|
=|$\frac{1}{4}$x₀²+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2|×|x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$|=$\frac{1}{4}$（x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$）³≥16，
當且僅當x₀=$\frac{4}{{x}_{0}}$即x₀=2時等號成立，
∴S的最小值為16．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，屬于中檔題．