Question

計算下列各式：
（1）（2

1

4

） 

1

2

-（-9.6）⁰-（3

3

8

） -

2

3

+（1.5）^-2；
（2）log₃

4 27

3

+lg25+lg4+7^log₇2
（3）求函數(shù)y=log₂（x²-2x+3）的值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì),復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，代入可得答案；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，代入可得答案；
（3）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的值域；進而根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）（2

1

4

） 

1

2

-（-9.6）⁰-（3

3

8

） -

2

3

+（1.5）^-2
=（

9

4

） 

1

2

-1-[（

3

2

）³] -

2

3

+（

3

2

）^-2
=

3

2

-1-（

3

2

）^-2+（

3

2

）^-2
=

1

2

；
（2）log₃

4 27

3

+lg25+lg4+7^log₇2
=log₃

3 3 4

3

+lg（25×4）+2
=log₃3-

1

4

+lg100+2
=-

1

4

+4
=

15

4

；
（3）令t=x²-2x+3，則t≥2
函數(shù)y=log₂（x²-2x+3）=log₂t≥1，
故函數(shù)y=log₂（x²-2x+3）的值域為[1，+∞），
又∵t=x²-2x+3在（-∞，1]上為減函數(shù)，在[1，+∞）上為增函數(shù)，
y=log₂t為增函數(shù)，
故函數(shù)y=log₂（x²-2x+3）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1]．

點評：本題考查的知識點是指數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)的運算性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，難度中檔．