Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，它的前n項(xiàng)和S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求p的值及a_n；
（Ⅱ）若b_n=2^n-1•（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用S_n=pn²+2n，求出a₂，a₁，從而求出p的值及a_n；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a₁=S₁=p+2，S₂=4p+4，即a₁+a₂=4p+4，∴a₂=3p+2．
由已知：a₂-a₁=2，∴p=1…（4分）
∴a_n=2n+1，n∈N^* …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=n•2n，T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ①
2=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得：-Tn=2-n•2n+1+(22+23+…+2n)
=2-n•2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-4，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．