Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ） 當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為

3

2

，求f（x）的解析式；
（Ⅲ） 將滿足（Ⅱ）的函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向下平移

1

2

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x），求g（x）圖象與x軸的正半軸、直線x=π所圍成圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行恒等變換，進(jìn)一步求出正弦型函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）先根據(jù)函數(shù)的定義域來確定函數(shù)的值域，進(jìn)一步確定函數(shù)的解析式
（Ⅲ）直接利用定積分只是求曲線圍成的面積．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x+

cos2x+1

2

+a=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+a，
∴f（x）的最小正周期為π．
令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，
解得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)
（ II）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為2a+

3

2

由題意，2a+

3

2

=

3

2

，
∴a=0，
故f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

；
（ III） 函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向下平移

1

2

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=sinx
∴g（x）圖象與x軸的正半軸、直線x=π所圍成圖形的面積為：2

∫

π 2 0

sinxdx=-2cosx

|

π 2 0

=2：

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用定義域確定的正弦型函數(shù)的值域來求解析式，函數(shù)圖象的變換，利用定積分求曲線的面積．