Question

16．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F₁PF₂=90°，求：
（1）△F₁PF₂的周長；
（2）△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P為右支上一點(diǎn)，|PF₂|=m，運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理，求得m，進(jìn)而得到三角形的周長；
（2）運(yùn)用直角三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)P為右支上一點(diǎn)，|PF₂|=m，
由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+m，
由∠F₁PF₂=90°，可得
m²+（2a+m）²=4c²，
由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得，a=2，b=2，c=2$\sqrt{2}$，
即有m²+（4+m）²=32，
解得m=2$\sqrt{3}$-2．
可得△F₁PF₂的周長為2c+2a+2m=4$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$；
（2）△F₁PF₂的面積為S=$\frac{1}{2}$m（2a+m）
=$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-2）•（2$\sqrt{3}$+2）
=4．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查勾股定理和三角形的面積公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．