Question

4．設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=x+ay的可行域是△ABC的內(nèi)部及邊界，其中A（1，0），B（3，1），C（2，3）．若目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則a=-2．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay，取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)知取得最優(yōu)解必在邊界上而不是在頂點(diǎn)上，討論a的符號(hào)以及直線截距和z的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域：
若a=0，則z=x，平移直線z=x，則當(dāng)直線x=z經(jīng)過(guò)A時(shí)，取得最小值，此時(shí)最小值只有一個(gè)，不滿足條件．
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
若a＞0，則目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，
平移直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線的截距最小，z最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)最優(yōu)解只有一個(gè)，不滿足條件．
若a＜0，則目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
平移直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$和AC平行時(shí)，直線的截距最大，z最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，滿足條件．
k_AC=$\frac{1-0}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$得a=-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃最優(yōu)解的判定，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．