Question

2．正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（Ⅰ）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）求四面體ABCD的外接球表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BEF中三條已知直線中，EF可能與AB平行，故可以以此為切入點(diǎn)進(jìn)行證明．
（Ⅱ）根據(jù)題意，構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行求出相應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法，通過(guò)求兩個(gè)平面法向量的夾角求二面角．
（Ⅲ）以DA，DB，DC為棱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則四面體ADBC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而求出球的半徑，利用球的表面積公式即可計(jì)算求解．

解答 解：（I）∵如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF∥AB，
又∵AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DEF．   …（4分）
（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB、DC、DA為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，1），F(xiàn)（1，$\sqrt{3}$，0）
平面CDF的法向量為$\overrightarrow{DA}$=（0，0，2），設(shè)平面EDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3），
cos＜$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
所以二面角E-DF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（8分）
（Ⅲ）以DA，DB，DC為棱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則四面體ADBC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球．
設(shè)球的半徑為R，則2²+2²+（2$\sqrt{3}$）²=（2R）²，
∴R=$\sqrt{5}$．
于是球的表面積S=4πR²=4π×5=20π．       …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，球的表面積的求法，可以用空間向量來(lái)解決，其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系⇒明確相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)⇒明確相關(guān)向量的坐標(biāo)⇒通過(guò)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，屬于中檔題．