Question

5．設(shè)0＜a＜1，0＜b＜1，曲線C₁：y=e^x+$\sqrt{a}$，C₂：y=x+1+b，則曲線C₁與C₂有交點(diǎn)的概率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先求出和y=x+1+b平行的切線方程，建立a，b的關(guān)系，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的面積，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：y=e^x+$\sqrt{a}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，和y=x+1+b平行的切線斜率k=f′（x）=1，
即由e^x=1，得x=0，此時(shí)f（0）=1+$\sqrt{a}$，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1+$\sqrt{a}$），
對(duì)應(yīng)的切線方程為y-1-$\sqrt{a}$=x，即y=x+1+$\sqrt{a}$，
若曲線C₁與C₂有交點(diǎn)，則1+b≥1+$\sqrt{a}$，即b≥$\sqrt{a}$，
作出對(duì)應(yīng)的不等式如圖：
則正方體OABC的面積S=1，陰影部分的面積S=1-∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{a}$da=1-$\frac{2}{3}$a${\;}^{\frac{3}{2}}$|${\;}_{0}^{1}$=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
則曲線C₁與C₂有交點(diǎn)的概率P=$\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用積分求面積，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．