Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，na_n+1=S_n+n（n+1）（n∈N^*），S_n是數(shù)列\(zhòng){a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）na_n+1=S_n+n（n+1）（n∈N^*），n≥2時(shí)，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），相減可得：a_n+1-a_n=2，又a₁=-1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 解：（1）na_n+1=S_n+n（n+1）（n∈N^*），n≥2時(shí)，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，化為：a_n+1-a_n=2，又a₁=-1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為-1．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$-\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=-$\frac{1}{3}$+$2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$=-$\frac{1}{3}+$2×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$，
可得：T_n=-$\frac{n}{{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．