Question

8．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=AA₁=4，AC⊥BC，D是線段AB上一點(diǎn)．
（1）設(shè)$\overrightarrow{AB}$=5$\overline{AD}$，求異面直線AC₁與CD所成角的余弦值；
（2）若AC₁∥平面B₁CD，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)$\overrightarrow{AB}$=5$\overline{AD}$，求出D的坐標(biāo)，結(jié)合異面直線所成角的定義進(jìn)行求解，
（2）根據(jù)AC₁∥平面B₁CD，利用平面向量共面的基本定理求出D的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵AC⊥BC，
∴建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AC=3，BC=AA₁=4，
∴C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
則$\overrightarrow{AB}$=（-3，4，0），設(shè)D（x，y，0），
∵$\overrightarrow{AB}$=5$\overline{AD}$，
∴（-3，4，0）=5（x-3，y，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{-3=5x-15}\\{4=5y}\end{array}\right.$則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，即D（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$，0），
則$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），
則cos＜$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{D}_{\;}}||\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{-3×\frac{12}{5}}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}•\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{2}}}$=-$\frac{9\sqrt{10}}{250}$，
則異面直線AC₁與CD所成角的余弦值是$\frac{9\sqrt{10}}{250}$．
（2）D（x，y，0），則$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），$\overrightarrow{CD}$=（x，y，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4）
∵AC₁∥平面B₁CD，
設(shè)$\overline{AD}$=t$\overrightarrow{AB}$=（-3t，4t，0），
則$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overline{AD}$=（3-3t，4t，0）
∴存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n有$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=m$\overrightarrow{C{B}_{1}}$+n$\overrightarrow{CD}$
即（-3，0，4）=m（0，4，4，）+n（3-3t，4t，0），
即$\left\{\begin{array}{l}{-3=3n-3nt}\\{0=4m+4nt}\\{4=4m}\end{array}\right.$，則m=1，n=-2，t=$\frac{1}{2}$，
即$\overrightarrow{CD}$=（3-3t，4t，0）=（$\frac{3}{2}$，2，0），
即D是AB的中點(diǎn)，
設(shè)平面DCB₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則z=-1，x=-$\frac{4}{3}$，即$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{4}{3}$，1，-1），
平面CB₁B的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{4}{3}}{\sqrt{\frac{16}{9}+1+1}}$=-$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
∵二面角D-CB₁-B是銳二面角，
∴二面角D-CB₁-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查異面直線所成角以及空間二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角常用的方法．難度較大．