Question

6．若對(duì)任意的x₁∈[e^-1，e]，總存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得lnx₁-x₁+1+a=x₂²e^x₂成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{2}{e}$，e+1]
• B． （e+$\frac{1}{e}$-2，e]
• C． [e-2，$\frac{2}{e}$）
• D． （$\frac{2}{e}$，2e-2]

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=lnx-x+1+a，g（x）=x²e^x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，建立條件關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)f（x）=lnx-x+1+a，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x∈[e^-1，1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[e^-1，1）上是增函數(shù)，在x∈（1，e]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=a，又f（e^-1）=a-$\frac{1}{e}$，f（e）=2+a-e，
∴f（x）∈[a+2-e，a]，
設(shè)g（x）=x²e^x，
∵對(duì)任意的x₁∈[e^-1，e]，總存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得lnx₁-x₁+1+a=x₂²e${\;}^{{x}_{1}}$成立，
∴[a+2-e，a]是g（x）的不含極值點(diǎn)的單值區(qū)間的子集，
∵g′（x）=x（2+x）e^x，∴x∈[-1，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）=x²e^x是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x²e^x是增函數(shù)，
∵g（-1）=$\frac{1}{e}$＜e=g（1），
∴[a+2-e，a]⊆（$\frac{1}{e}$，e]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2-e＞\frac{1}{e}}\\{a≤e}\end{array}\right.$，解得$e+\frac{1}{e}-2＜a≤e$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．