Question

11．已知拋物線C：y²=4x，過其焦點(diǎn)F作兩條相互垂直且不平行于坐標(biāo)軸的直線，它們分別交拋物線C于點(diǎn)P₁、P₂和點(diǎn)P₃、P₄，線段P₁P₂、P₃P₄的中點(diǎn)分別為M₁、M₂．
（Ⅰ）求線段P₁P₂的中點(diǎn)M₁的軌跡方程；
（Ⅱ）求△FM₁M₂面積的最小值；
（Ⅲ）過M₁、M₂的直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定線段M₁M₂的中點(diǎn)P坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可得到線段P₁P₂的中點(diǎn)M₁的軌跡方程；
（Ⅱ）利用${S_{△F{M_1}{M_2}}}=\frac{1}{2}|F{M_1}|•|F{M_2}|=2（\frac{1}{|k|}+|k|）≥4$，即可求△FM₁M₂面積的最小值；
（Ⅲ）分類討論，利用yk²+（x-3）k-y=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)條件得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
設(shè)直線P₁P₂的方程為y=k（x-1），k≠0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得k²x²-2（2+k²）x+k²=0．△=[-2（2+k²）]²-4k²k²=16（1+k²）＞0．
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則${x_{M_1}}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=1+\frac{2}{k^2}$，${y_{M_1}}=k（{x_{M_1}}-1）=\frac{2}{k}$，
∴${x_{M_1}}=1+\frac{1}{2}{y^2}_{M_1}$．
∴線段P₁P₂的中點(diǎn)M₁的軌跡方程為：y²=2（x-1）（x＞1）．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\left\{\begin{array}{l}{x_{M_1}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{2+{k^2}}}{k^2}\\{y_{M_1}}=k（{x_{M_1}}-1）=\frac{2}{k}\end{array}\right.$．
同理，設(shè)${M_2}（{x_{M_2}}，{y_{M_2}}）$，則$\left\{\begin{array}{l}{x_{M2}}=2{k^2}+1\\{y_{M2}}=-2k\end{array}\right.$．
∴$|F{M_1}|=\sqrt{{{（1-\frac{{2+{k^2}}}{k^2}）}^2}+{{（\frac{2}{k}）}^2}}=\frac{2}{k^2}\sqrt{1+{k^2}}$，$|F{M_2}|=\sqrt{{{（2{k^2}）}^2}+{{（-2k）}^2}}=2|k|\sqrt{1+{k^2}}$，
因此${S_{△F{M_1}{M_2}}}=\frac{1}{2}|F{M_1}|•|F{M_2}|=2（\frac{1}{|k|}+|k|）≥4$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{|k|}=|k|$，即k=±1時(shí)，${S_{△F{M_1}{M_2}}}$取到最小值4．…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)k≠±1時(shí)，由（Ⅱ）知直線l的斜率為：$k'=\frac{k}{{1-{k^2}}}$，
所以直線l的方程為：$y+2k=\frac{k}{{1-{k^2}}}（x-2{k^2}-1）$，即yk²+（x-3）k-y=0，（*）
當(dāng)x=3，y=0時(shí)方程（*）對任意的k（k≠±1）均成立，即直線l過點(diǎn)（3，0）．
當(dāng)k=±1時(shí)，直線l的方程為：x=3，也過點(diǎn)（3，0）．
所以直線l恒過定點(diǎn)（3，0）．…（12分）

點(diǎn)評 本題給出拋物線互相垂直的弦，求它們的中點(diǎn)的問題．著重考查了直線與拋物線位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)的判斷等知識，屬于中檔題．