Question

12．如圖所示，在△ABC中，3$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$，3$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}$，AM是BC邊上的中線，且交DE于N，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$分別表示向量$\overrightarrow{DN}$，$\overrightarrow{AM}$；
（2）設(shè)∠BAC=θ，tanθ=$\sqrt{15}$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$均為單位向量，求$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接由平面向量的加減法法則及共線向量基本定理得答案；
（2）把$\overrightarrow{CD}$用$\overrightarrow{AD}$ $\overrightarrow{AC}$表示，代入$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{AM}$ 展開(kāi)，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求得答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，3$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$，3$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}$，AM是BC邊上的中線，且交DE于N，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
如圖，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）．
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$）．
（2）∵∠BAC=θ，tanθ=$\sqrt{15}$，∴cosθ=$\frac{1}{4}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×1×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{AM}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{2\overrightarrow{a}}{3}$-$\overrightarrow$）•$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{3}$-$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{6}$-$\frac{{\overrightarrow}^{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}•\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的加減法法則，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．