Question

7．當(dāng)x∈[-2，-1]，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-5，-3]
• B． （-∞，-$\frac{9}{8}$]
• C． （-∞，-2]
• D． [-4，-3]

Answer 1

分析 根據(jù)x的范圍，不等式可整理為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：x∈[-2，-1]，ax³-x²+4x+3≥0，
∴ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，f'（x）=-$\frac{（x-9）（x+1）}{{x}^{4}}$，
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）≥f（-1）=-2，
∴a≤-2．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查了對(duì)不等式的變形和對(duì)恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．