Question

12．已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$
sin²（-10°）+sin²50°+sin²110°=$\frac{3}{2}$
通過(guò)觀察上述等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題，并給出證明．

Answer 1

分析 通過(guò)所給的等式歸納出一般形式，利用二倍角的余弦公式將等式的左邊降冪求出左邊的值，即得到證明．

解答 解：一般性的命題為sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$…．（6分）
證明：sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{1-cos（2α-120°）}{2}$+$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1-cos（2α+120°）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（cos2αcos120°+sin2αsin120°+cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°）
=$\frac{3}{2}$
所以左邊等于右邊…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查通過(guò)歸納推理猜想結(jié)論；考查利用二倍角的余弦公式將三角函數(shù)式進(jìn)行降冪，屬于基礎(chǔ)題．