如圖1,四棱錐中,底面,面是直角梯形,為側(cè)棱上一點(diǎn).該四棱錐的俯視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.   
(Ⅰ)證明:平面
(Ⅱ)證明:∥平面;
(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使所成角的余弦值為?若存在,找到所有符合要求的點(diǎn),并求的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.

(I)詳見(jiàn)解析;(II)詳見(jiàn)解析;(III)點(diǎn)位于點(diǎn)處,此時(shí);或中點(diǎn)處,此時(shí).

解析試題分析:(I)建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),線和面內(nèi)兩相交直線垂直,則線垂直面;(II)線與面內(nèi)一直線平行,則線面平行;(III)利用數(shù)量積公式可得兩直線夾角余弦.
試題解析:【方法一】
(Ⅰ)證明:由俯視圖可得,,

所以.          1分
又因?yàn)?平面
所以 ,         3分
所以 平面.                                         4分
(Ⅱ)證明:取上一點(diǎn),使,連結(jié).       5分
由左視圖知 ,所以 .      6分
在△中,易得,所以 .又 , 所以
又因?yàn)?,,所以 ,
所以四邊形為平行四邊形,所以 .               8分
因?yàn)?平面,平面
所以 直線∥平面.                                     9分
(Ⅲ)解:線段上存在點(diǎn),使所成角的余弦值為.證明如下:10分
因?yàn)?平面,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
所以
設(shè) ,其中.                                    11分
所以,
要使所成角的余弦值為,則有 ,   12分
所以 ,解得 ,均適合.  13分
故點(diǎn)位于

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知中,,的中點(diǎn),分別在線段上,且,把沿折起,如下圖所示,

(1)求證:平面
(2)當(dāng)二面角為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成的角為,若存在求的長(zhǎng),若不存在說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖已知:菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證:平面平面;
(2)點(diǎn)在直線上,且//平面,求平面與平面所成角的余弦值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在中,,上的高,沿折起,使.
(Ⅰ)證明:平面⊥平面
(Ⅱ)若,求三棱錐的表面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在三棱錐中,,,設(shè)頂點(diǎn)A在底面上的射影為R.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在棱上,且,試求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在長(zhǎng)方體中,已知上下兩底面為正方形,且邊長(zhǎng)均為1;側(cè)棱,中點(diǎn),中點(diǎn),上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)確定點(diǎn)的位置,使得
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求二面角的平面角余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,平面四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,為球的直徑,為球面上一點(diǎn),且平面 ,點(diǎn)的中點(diǎn).
(1) 證明:平面平面
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在三棱柱中, ,,,點(diǎn)的中點(diǎn),.

(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在線段上,,且使直線和平面所成的角的正弦值為,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在四棱柱中,側(cè)棱底面,

(Ⅰ)求證:平面
(Ⅱ)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值
(Ⅲ)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問(wèn)共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫(xiě)出的解析式。(直接寫(xiě)出答案,不必說(shuō)明理由)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案