Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形側(cè)面PAD⊥底面ABCD，F(xiàn)為BD中點，PA=PD=AD=2
（I）在線段PA上是否存在點E，使得EF∥平面PBC，指出點E的位置并證明；
（ II）求二面角E-DF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)AC，取PA中點E，則EF∥PC，由此能證明存在點E，且E為線段PA的中點，使得EF∥平面PBC．
（Ⅱ）取AD中點O，以O為原點，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-DF-A的余弦．

解答 解：（I）存在點E，且E為線段PA的中點，使得EF∥平面PBC．…（1分）
證明：如圖，連結(jié)AC，因為底面ABCD是正方形，所以AC與BD互相平分，
又因為F是BD中點，所以F是AC中點，所以EF∥PC，…（3分）
又因為EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（5分）
解：（Ⅱ）取AD中點O，
在△PAD中，因為PA=PD，所以PO⊥AD，
因為面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD，
因為OF?面ABCD，所以PO⊥OF，
又因為F是AC的中點，所以OF⊥AD，…（7分）
如圖，以O為原點，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
因為PA=PD=AD=2，所以OP=$\sqrt{3}$，
則O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)（0，1，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（1，1，0），
因為OC⊥面ABCD，所以$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$）是平面FAD的一個法向量…（9分）
設平面FED的一個法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）…（11分）
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），
所以cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
由圖可知，二面角E-DF-A為銳角，所以二面角E-DF-A的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定及證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．