Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}，設(shè)區(qū)間（α，β）的長度定義為l=β-α
（1）求該函數(shù)在區(qū)間I上的長度l（用a表示）
（2）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時，求I長度的最小值g（k）．
（3）對（2）的g（k），k∈（0，1），是否存在實數(shù)m，n，使得y=g（k）的定義域為[m，n]，值域為[

1

n

，

1

m

]，若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解f（x）=ax-（1+a²）x²＞0得0＜x＜

a

1+a2

；從而求該函數(shù)在區(qū)間I上的長度l；
（2）化簡l=

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

；從而確定函數(shù)的單調(diào)性，再求最小值；
（3）g（k）=

1-k

1+(1-k)2

=

1

1 1-k +(1-k)

）在（0，1）上單調(diào)遞減，故化為g（k）=

1

k

在（0，1）有兩個不同的解，從而求解．

解答： 解：（1）由題意，解f（x）=ax-（1+a²）x²＞0得，
0＜x＜

a

1+a2

；
故I={x|f（x）＞0}=（0，

a

1+a2

）；
故該函數(shù)在區(qū)間I上的長度l=

a

1+a2

；
（2）l=

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

；
故易知l在[1-k，1]上為增函數(shù)，在[1，1+k]上為減函數(shù)；
l（1-k）=

1-k

1+(1-k)2

，l（1+k）=

1+k

1+(1+k)2

；
l（1-k）-l（1+k）=

-2k3

[1+(1-k)2][1+(1+k)2]

＜0；
故g（k）=

1-k

1+(1-k)2

；
（3）g（k）=

1-k

1+(1-k)2

=

1

1 1-k +(1-k)

，
則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，
g（k）在（0，1）上單調(diào)遞減，
故若存在實數(shù)m，n，使得y=g（k）的定義域為[m，n]，值域為[

1

n

，

1

m

]，
則g（k）=

1

k

在（0，1）有兩個不同的解，
即

1-k

1+(1-k)2

=

1

k

，
即2k²-3k+2=0，
△=9-4×2×2＜0；
故方程無解，
故m，n不存在．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及學(xué)生對新定義的接受與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．