Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（3）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出f（1）及f′（1）的值，代入點(diǎn)斜式方程即可得到答案；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，即可求a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等價(jià)于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由此可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，
因?yàn)閒'（1）=0，f（1）=-2，
所以切線方程為y=-2；                                     
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

（x＞0），
令f'（x）=0，即f′（x）=

2ax2-(a+2)x+1

x

，所以x=

1

2

或x=

1

a

．         
當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；                      
當(dāng)1＜

1

a

＜e，即

1

e

＜a＜1時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f（

1

a

）＜f（1）=-2，不合題意；
當(dāng)

1

a

≥e，即0≤a≤

1

e

時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意．      
綜上可得 a≥1；                                            
（3）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，
對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，
等價(jià)于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
而g′（x）=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

，
當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=

1

x

，此時(shí)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；      
當(dāng)a≠0時(shí)，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
因?yàn)閤∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，則需要a≥0，
對于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過定點(diǎn)（0，1），對稱軸x=

1

4

，
只需△=a²-8a≤0，即0＜a≤8．    
綜上可得 0≤a≤8．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．