Question

15．動直線l：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0過定點P，則點P的坐標為（0，-6）若直線l與不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{2x+y≤2}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)λ的取值范圍是1＜λ≤$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 利用分離參數(shù)法，解方程組即可求出定點坐標，作出不等式組對應的平面區(qū)域利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得：λ（3x-y-6）+（x+y+6）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x+y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-6}\end{array}\right.$，即直線恒過定點P（0，-6）．
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
當1-λ=0時，λ=1，此時直線方程為x=0，滿足直線和平面區(qū)域有公共點，
當λ≠1時，直線方程為y=$\frac{3λ+1}{λ-1}$x+$\frac{6-6λ}{λ-1}$
則滿足直線的斜率k＞0，且點A（1，0）在直線的下方或在直線上，
即$\frac{3λ+1}{λ-1}$＞0且y≤$\frac{3λ+1}{λ-1}$x+$\frac{6-6λ}{λ-1}$，
即$\frac{3λ+1}{λ-1}$＞0①且0≤$\frac{3λ+1}{λ-1}$×1+$\frac{6-6λ}{λ-1}$=$\frac{7-3λ}{λ-1}$，②
即由①得λ＞1或λ＜$-\frac{1}{3}$，
由②得1≤λ≤$\frac{7}{3}$，
由①②得1≤λ≤$\frac{7}{3}$，
故答案為：（0，-6）；1≤λ≤$\frac{7}{3}$．

點評 本題主要考查直線過定點以及線性規(guī)劃的應用，建立方程組關系以及利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．