Question

20．已知圓C：x²+y²+4x-4ay+4a²+1=0，直線l：ax+y+2a=0．
（1）當$a=\frac{3}{2}$時，直線l與圓C相較于A，B兩點，求弦AB的長；
（2）若a＞0且直線l與圓C相切，求圓C關于直線l的對稱圓C'的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心C與半徑，利用圓心到直線l的距離，半徑半弦長滿足的勾股定理，求解弦長即可．
（2）將y=-ax-2a代入圓C的方程化簡，利用判別式為0，求出a，然后求解對稱圓的方程即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵圓C：${（x+2）^2}+{（y-2a）^2}={（\sqrt{3}）^2}$，又$a=\frac{3}{2}$，
∴圓心C為（-2，3），直線l：3x+2y+6=0，…（1分）
圓心C到直線l的距離$d=\frac{|-6+6+6|}{{\sqrt{9+4}}}=\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$，…（3分）
所以$AB=2\sqrt{3-\frac{36}{13}}=\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$．                         …（5分）
（2）將y=-ax-2a代入圓C的方程化簡得：（1+a²）x²+4（1+2a²）x+16a²+1=0（*），
∴△=[4（1+2a²）]²-4（1+a²）（16a²+1）=4（3-a²）=0，
∵a＞0，∴$a=\sqrt{3}$，…（7分）
∴方程（*）的解$x=-\frac{7}{2}$，∴切點坐標為（$-\frac{7}{2}$，$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$），…（9分）
根據圓關于切線對稱的性質可知切點為CC′的中點，故圓C′的坐標
為（-5，$\sqrt{3}$），…（11分）
∴圓C'的方程為：${（x+5）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=3$．           …（12分）

點評 本題考查直線與圓的方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．