Question

20．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對x∈R都有f（-x）=f（x），f（2+x）=f（2-x），且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （$\root{3}{4}$，2）

Answer 1

分析 可判斷f（x）是偶函數(shù)，且周期為4；作函數(shù)f（x）與y=log_a（x+2）的圖象，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{g（2）＜3}\\{g（6）＞3}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)；
∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，
∴f（x）的周期為4；
作函數(shù)f（x）與y=log_a（x+2）的圖象如下，
結(jié)合圖象可知，
必須且只需$\left\{\begin{array}{l}{g（2）＜3}\\{g（6）＞3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜3}\\{lo{g}_{a}8＞3}\end{array}\right.$，
解得，$\root{3}{4}$＜a＜2，
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．