Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²-kx．
（1）若k=2時(shí)，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若k=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2x-1，x＜-1或x＞1}\\{1-2x，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2）若f（x）≥0恒成立，分-1≤x≤1、x＞1與x＜1三類討論，分別構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得k的取值范圍，最后取交集即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）k=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2x-1，x＜-1或x＞1}\\{1-2x，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，y=2x²-2x-1=2（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=1-2x單調(diào)遞減；
綜上，f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
所以f（x）_min=f（1）=-1．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-kx-1，x＜-1或x＞1}\\{1-kx，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，1-kx≥0恒成立，令g（x）=1-kx，則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：-1≤k≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，k≤2x-$\frac{1}{x}$恒成立，y=2x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）單調(diào)遞增，解得k≤1；
當(dāng)x＜1時(shí)，k≥2x-$\frac{1}{x}$恒成立，同理解得k≥-1．
綜上，-1≤k≤1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出分類討論與構(gòu)造函數(shù)思想，分離參數(shù)求其最值是解決問題的關(guān)鍵，屬于難題．