Question

8．已知兩個不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，兩組向量均由$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$，$\overrightarrow{{x}_{4}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$，$\overrightarrow{{y}_{4}}$均由2個$\overrightarrow{a}$和2個$\overrightarrow$排列而成，記S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值，則下列命題中正確的個數(shù)為（　�。�
①S有3個不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow$|無關；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow$|無關；
④若|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$，S_min=4${|\overrightarrow{a}|}^{2}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意得到所有的S值判斷①，利用作差法求得S的最小值結合向量垂直、平行及數(shù)量積運算判斷②③④，則答案可求．

解答 解：由題意可知，S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$ 有三個值，分別為$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}$、${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$、$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$．
∴①正確；
∵$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}$-$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}≥0$，
${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}≥0$，
∴${S}_{min}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$．
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min=0與|$\overrightarrow$|無關，∴②正確；
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則S_min=$4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，與|$\overrightarrow$|有關，∴③錯誤；
若|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$，S_min=4${|\overrightarrow{a}|}^{2}$，則cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，故④正確．
∴命題中正確的個數(shù)為3個．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查平面向量的數(shù)量積運算，考查邏輯思維能力與推理運算能力，是中檔題．