10.已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,若A=$\frac{π}{3}$,b=2acosB,c=1,
(1)求角B的大。
(2)求△ABC的面積.

分析 (1)由已知利用正弦定理可得:sinB=2sinAcosB=$\sqrt{3}$cosB,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanB=$\sqrt{3}$,結(jié)合范圍B∈(0,π),利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解B的值.
(2)由(1)及三角形內(nèi)角和定理可得三角形為等邊三角形,利用三角形的面積公式即可計算得解.

解答 解:(1)∵A=$\frac{π}{3}$,b=2acosB,
∴利用正弦定理可得:sinB=2sinAcosB=$\sqrt{3}$cosB,
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{3}$,
∵B∈(0,π),
∴B=$\frac{π}{3}$.
(2)∵A=$\frac{π}{3}$,B=$\frac{π}{3}$,c=1,
∴C=π-A-B=$\frac{π}{3}$,a=b=c=1,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×1×$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$.

點評 本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,特殊角的三角函數(shù)值,三角形內(nèi)角和定理,三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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