Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，S₃=-3，則$\frac{S_n}{2^n}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求S_n，再判斷$\frac{S_n}{2^n}$的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得答案

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S₃=-3，
∴${S}_{3}=3×1+\frac{3×2}{2}×d=-3$，
解得d=-2，
∴${S}_{n}=n×1+\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=-n²+2n，
∴$\frac{S_n}{2^n}$=$\frac{1-（n-1）^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-{n}^{2}}{{2}^{n}}$
設(shè)f（n）=$\frac{2n-{n}^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{n（2-n）}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n=1時，f（1）=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=2時，f（2）=0，
當(dāng)n=3時，f（3）=-$\frac{3}{8}$
當(dāng)n=4時，f（4）=-$\frac{4}{8}$=-$\frac{1}{2}$
當(dāng)n＞2時，f（n）＜0，
∴$\frac{S_n}{2^n}$的最大值為$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題．