Question

1．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，且中心為O，AB=BO=1，PA=PB=PC=PD=2，則該四棱錐的外接球的體積為$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．

Answer 1

分析 利用勾股定理，求出該四棱錐的外接球的半徑，再利用球的體積公式，即可得出結論．

解答 解：由題意，PO⊥平面ABCD，PO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
設該四棱錐的外接球的半徑為R，則R²=1²+（$\sqrt{3}$-R）²，
∴R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴四棱錐的外接球的體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．
故答案為：$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．

點評 本題考查四棱錐的外接球的體積，考查學生的計算能力，求出四棱錐的外接球的半徑是關鍵．