Question

2．海南省椰樹集團(tuán)引進(jìn)德國凈水設(shè)備的使用年限（年）和所需要的維修費(fèi)用y（千元）的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（Ⅰ）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出$\widehaty$關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty$=$\hat b$x+$\hat a$；
（Ⅱ）我們把中（Ⅰ）的線性回歸方程記作模型一，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)該組數(shù)據(jù)也可以用函數(shù)模型$\widehaty$=c₁ln（c₂x）擬合，記作模型二．經(jīng)計(jì)算模型二的相關(guān)指數(shù)R²=0.64，
①請說明R²=0.64這一數(shù)據(jù)在線性回歸模型中的實(shí)際意義．
②計(jì)算模型一中的R²的值（精確到0.01），通過數(shù)據(jù)說明，兩種模型中哪種模型的擬合效果好．
參考公式和數(shù)值：用最小工乘法求線性回歸方程系數(shù)公式$\widehatb$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb\overline x$．R²=1-$\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}$，$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}$=0.651，（2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先做出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，把平均數(shù)和條件中所給的兩組數(shù)據(jù)代入求解b的公式，做出b的值，再求出a的值，寫出回歸直線的方程．
（Ⅱ） ①R²=0.64表明“凈水設(shè)備的使用年限解釋了64%的維修費(fèi)用的變化”，或者說“凈水設(shè)備的維修費(fèi)用
的差異有64%是由凈水設(shè)備的使用年限引起的”
②R²取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2=}4+9+16+25+36=90$，且$\overline x=4，\overline y=5，n=5$，∴$\hat b=\frac{112.3-5×4×5}{90-5×16}=\frac{12.3}{10}=1.23$$\hat a=5-1.23×4=0.08$
∴回歸直線為$\widehaty=1.23x+0.08$．
（Ⅱ） ①R²=0.64表明“凈水設(shè)備的使用年限解釋了64%的維修費(fèi)用的變化”，或者說“凈水設(shè)備的維修費(fèi)用
的差異有64%是由凈水設(shè)備的使用年限引起的”
②$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}=0.651$，$\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=15.78$，${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-{{\widehaty}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}$=0.96R²
取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．
由于模型一中的相關(guān)指數(shù)R²=0.96大于0.64，說明模型一的擬合效果好．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程的求解和應(yīng)用，是一個中檔題，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)．