Question

11．已知y=f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，且y=f（x+$\frac{π}{2}$）為偶函數(shù)，對于函數(shù)y=f（x）有下列幾種描述：
①y=f（x）是周期函數(shù)；
②x=π是它的一條對稱軸；
③（-π，0）是它圖象的一個(gè)對稱中心；
④x=$\frac{π}{2}$是它的一條對稱軸． 
其中描述正確的是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性對每一個(gè)選支進(jìn)行逐一判定即可．

解答 解：∵y=f（x+$\frac{π}{2}$）為偶函數(shù)，
∴f（-x+$\frac{π}{2}$）=f（x+$\frac{π}{2}$），對稱軸為x=$\frac{π}{2}$，
而y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（-x+$\frac{π}{2}$）=-f（x-$\frac{π}{2}$）=f（x+$\frac{π}{2}$）
即f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x-$\frac{π}{2}$），
f（x+π）=-f（x），f（x+2π）=f（x）
∴y=f（x）是2π為最小正周期的周期函數(shù)，故①正確，
x=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）是它的對稱軸，故②不正確，④正確，
（-π，0）是它圖象的一個(gè)對稱中心，故③正確
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、對稱性、周期性等有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．