Question

12．已知實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$，則$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$的取值范圍是$[0，\frac{4}{3}]$．

Answer 1

分析 利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法設(shè)t=$\frac{y}{x}$，進行轉(zhuǎn)化，然后作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$-2，
設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$-2
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則t=$\frac{y}{x}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（1，3），此時OB的斜率t=$\frac{3}{1}$=3，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），此時OC的斜率t=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤t≤3，
∵y=t+$\frac{1}{t}$-2在$\frac{1}{3}$≤t≤1上遞減，在1≤t≤3遞增，
∴當t=1時，函數(shù)取得最小值y=1+1-2=0，
當t=3或$\frac{1}{3}$時，y=$\frac{1}{3}$+3-2=$\frac{4}{3}$，
即0≤y≤$\frac{4}{3}$，
即$\frac{{{{（x-y）}^2}}}{xy}$的取值范圍是$[0，\frac{4}{3}]$，
故答案為：$[0，\frac{4}{3}]$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)分式的性質(zhì)，利用換元法進行轉(zhuǎn)化結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．