Question

8．已知A₁，A₂，A₃為平面上三個(gè)不共線的定點(diǎn)，平面上點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=λ（$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}$）（λ是實(shí)數(shù)），且$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$是單位向量，則這樣的點(diǎn)M有（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 無數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 設(shè)A₁，A₂，A₃的坐標(biāo)，表示出M的坐標(biāo)，令|$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$|=1得出關(guān)于λ的方程，判斷方程的解的個(gè)數(shù)即可得出M的位置的個(gè)數(shù)．

解答 解：以A₁為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)A₂（a，b），A₃（m，n），則$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}$=（a+m，b+n），
∴M（λ（a+m），λ（b+n）），
∴$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（-λ（a+m），-λ（b+n）），$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=（a-λ（a+m），b-λ（b+n）），$\overrightarrow{M{A}_{3}}$=（m-λ（a+m），n-λ（b+n）），
∴$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$=（（1-3λ）（a+m），（1-3λ）（b+n）），
∵$\overrightarrow{M{A}_{1}}$+$\overrightarrow{M{A}_{2}}$+$\overrightarrow{M{A}_{3}}$是單位向量，
∴（1-3λ）²[（a+m）²+（b+n）²]=1，
∵A₁，A₂，A₃為平面上三個(gè)不共線的三點(diǎn)，∴（a+m）²+（b+n）^2＞0．
顯然λ有兩解，故滿足條件的M有兩個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查令平面向量的線性運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．