Question

7．過點P（0，2）可以作三條直線與函數(shù)y=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+1相切，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． $（-∞，2\root{3}{3}）$
• B． $（2\root{3}{3}，+∞）$
• C． $（-2\root{3}{3}，2\root{3}{3}）$
• D． $（0，2\root{3}{3}）$

Answer 1

分析 設切點，利用導數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程，將點P代入切線方程，可得關于m的方程有三個不同的解，令g（x）=4x³-3ax²+6，利用導數(shù)求出g（x）的單調(diào)性和極值，即可得到m的取值范圍．

解答 解：設切點為（m，$\frac{1}{3}$m³-$\frac{a}{2}$m²+1），
∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+1，
∴f'（x）=x²-ax
∴切線的斜率k=f′（a）=m²-am，
由點斜式可得切線方程為y-（$\frac{1}{3}$m³-$\frac{a}{2}$m²+1）=（m²-am）（x-m），
∵切線過點P（0，2），
∴2-（$\frac{1}{3}$m³-$\frac{a}{2}$m²+1）=（m²-am）（0-m），即4m³-3am²+6=0，
∵過點P（0，2）可以作三條直線與函數(shù)y=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+1相切，
∴關于m的方程4m³-3am²+6=0有三個不同的根，
令g（x）=4x³-3ax²+6，
∴g′（x）=12x²-6ax=0，解得x=0或x=$\frac{a}{2}$，
當$\frac{a}{2}$＜0，x＜$\frac{a}{2}$時，g′（x）＞0，當$\frac{a}{2}$＜x＜0時，g′（x）＜0，當x＞0時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{a}{2}$，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x=$\frac{a}{2}$時，g（x）取得極大值g（$\frac{a}{2}$）＞0，
當x=0時，g（x）取得極小值g（0）=6＞0，不符合題意；
$\frac{a}{2}$=0，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；
當$\frac{a}{2}$＞0，x＞$\frac{a}{2}$時，g′（x）＞0，當0＜x＜$\frac{a}{2}$時，g′（x）＜0，當x＜0時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴當x=0時，g（x）取得極大值g（0）=6＞0，
當x=$\frac{a}{2}$時，g（x）取得極小值g（$\frac{a}{2}$）＜0，
解得a＞$2\root{3}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．導數(shù)的幾何意義即在某點處的導數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．運用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，對能力要求較高．屬于中檔題．