Question

16．一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．
（1）判斷正方體中平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系．并證明你的結(jié)論；
（2）若P是 CG的中點(diǎn)，求正方體中DP與HF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖得到正方體為正方體ABCD-EFGH，由AC∥EG，AH∥BG，得到平面BEG∥平面ACH；
（2）由HF∥BD，得∠PDB是正方體中DP與HF所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出正方體中DP與HF所成角的余弦值．

解答 解：（1）平面BEG∥平面ACH．
證明如下：
由正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖得到正方體為正方體ABCD-EFGH，
∵AC∥EG，AH∥BG，AC∩AH=A，EG∩BG=G，
AC、AH?平面ACH，EG、BG?平面BEG，
∴平面BEG∥平面ACH．
（2）∵HF∥BD，∴∠PDB是正方體中DP與HF所成角（或所成角的補(bǔ)角），
連結(jié)PB，設(shè)正方形的棱長為2，
則BD=2$\sqrt{2}$，PB=PD=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠PDB=$\frac{D{P}^{2}+B{D}^{2}-P{B}^{2}}{2DP•DB}$=$\frac{5+8-5}{2•\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴正方體中DP與HF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查面面位置關(guān)系的判斷，考查正方體中異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．