Question

19．猜想$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{2n個}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個}}$（n∈N^*）的值．

Answer 1

分析 首先由題意可得當被開放方數是2個1減1個2時，得到1個3，當被開方數是4個1減去2個2時，得到2個3，
被開方數中6個1減去3個2時，得3個3，即可得到規(guī)律：當被開方數中2n個1減去n個2時，得到n個3，則問題得解．

解答 解：$\sqrt{11-2}=\sqrt{9}=3$=3×1
$\sqrt{1111-22}=\sqrt{1089}=33$=3×11
$\sqrt{111111-222}=333$=3×111
可得到規(guī)律：當被開方數中有2n個1減去n個2時，算術平方根為n個3
故原式值為$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{2n}-\underset{\underbrace{22…2}}{n}}=\underset{\underbrace{33…3}}{n}$

點評 本題考查歸納推理，通過寫出前三個特殊的值，歸納寫出原式的值．屬于中檔題．