Question

4．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，S分別為棱PB，AD，AB，CD的中點(diǎn)，G為線段EM的中點(diǎn)，且PA=AB=2AD=4，N為SM上一點(diǎn)，且NG∥平面CEF．
（1）確定N的位置，并求線段NG的長(zhǎng)；
（2）平面CEF與PA交于點(diǎn)K，求三棱錐B-CKN的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)CF與SM交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則N為OM的中點(diǎn)．從而EM∥PA，進(jìn)而EM⊥底面ABCD，由此能求出NG的長(zhǎng)．
（2）延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)EQ，則點(diǎn)K為PA與QE的交點(diǎn)，由題意△AKQ∽△MEQ，由此能求出三棱錐B-CKN的體積．

解答 解：（1）設(shè)CF與SM交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則N為OM的中點(diǎn)．
證明如下：
∵NG∥平面CEF，且平面CEF∩平面MOE=EO，
∴NG∥OE，又G為線段EM的中點(diǎn)，則N為OM的中點(diǎn)，
∵E為棱PB的中點(diǎn)，∴EM∥PA，
又PA⊥底面ABCD，∴EM⊥底面ABCD，
則EM⊥OM，∵OM=$\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，EM=2，
∴NG=$\frac{1}{2}OE$=$\frac{1}{2}\sqrt{O{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{5}{4}$．
（2）延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∵AF∥BC，且BC=2AF，∴A為QB的中點(diǎn)，
連結(jié)EQ，則點(diǎn)K為PA與QE的交點(diǎn)，
由題意△AKQ∽△MEQ，∴$\frac{AK}{EM}=\frac{QA}{QM}=\frac{4}{4+2}=\frac{2}{3}$，
∴AK=$\frac{2}{3}EM=\frac{4}{3}$，
∵△BCN的面積為$\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴三棱錐B-CKN的體積V_B-CKN=V_K-BCN=$\frac{1}{3}×AK×2=\frac{8}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的位置的確定，考查線段長(zhǎng)的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．