Question

5．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的實軸長為2，點$P（2，\sqrt{6}）$在此雙曲線上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB中點N在圓x²+y²=5上，求實數m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據雙曲線的性質，求出a，b即可求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）根據直線與雙曲線的位置關系，求出中點坐標，結合中點坐標在圓上的關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意知：2a=2，∴a=1，
又點$P（2，\sqrt{6}）$在雙曲線上，
∴$\frac{4}{1^2}-\frac{6}{b^2}=1⇒{b^2}=2$，
∴雙曲線方程為：${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$消y有x²-2mx-m²-2=0，
∴△=（-2m）²+4（m²+2）＞0，
∴${x_1}+{x_2}=2m，{x_1}{x_2}=-（{m^2}+2）$，
∵N為AB中點，∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=m，{y_0}={x_0}+m=2m$，
∵N在圓x²+y²=5上即m²+（2m）²=5，
∴m=±1，經檢驗，符合題意．
所以，實數m的值為±1．

點評 本題主要考查雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關系，利用設而不求的思想是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．