Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x+2）²|x-a|-4（x∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+2）²|x-1|-4=$\left\{\begin{array}{l}（x+2）^{2}（1-x）-4，x≤1\\（x+2）^{2}（x-1）-4，x＞1\end{array}\right.$，分段求出函數(shù)的極值點(diǎn)，可得答案；
（2）對(duì)a值進(jìn)行分類討論，求出不出情況下，滿足函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增的a的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+2）²|x-1|-4=$\left\{\begin{array}{l}（x+2）^{2}（1-x）-4，x≤1\\（x+2）^{2}（x-1）-4，x＞1\end{array}\right.$，
①當(dāng)x≤1時(shí)，f′（x）=-3x²-6x，令f′（x）=0，則x=0，或x=-2，
當(dāng)x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
此時(shí)函數(shù)的極小值點(diǎn)-2，極大值點(diǎn)為0；
②當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=3x²+6x，令f′（x）=0，則x=0，或x=-2，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
即1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
綜上函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)有：-2，0，1；
（2）函數(shù)f（x）=（x+2）²|x-a|-4=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）}^{2}（a-x）-4，x≤a\\{（x+2）}^{2}（x-a）-4，x＞a\end{array}\right.$，
①若a≤-2，則x∈[-2，1]時(shí)，f（x）=（x+2）²（x-a）-4，
∵f′（x）=3x²+（8-2a）x+（4-4a），
此時(shí)x=$\frac{a-4}{3}$≤-2，f′（-2）=0，
故f′（x）=3x²+（8-2a）x+（4-4a）≥0恒成立，
故滿足函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，
②若-2＜a＜1，
則x∈[-2，a]時(shí)，f（x）=（x+2）²（a-x）-4，
∵f′（x）=-[3x²+（8-2a）x+（4-4a）]，
x∈[a，1]時(shí)，f（x）=（x+2）²（x-a）-4，
∵f′（x）=3x²+（8-2a）x+（4-4a），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，則$\left\{\begin{array}{l}\frac{a-4}{3}≥a\\ \frac{a-4}{3}≤\frac{a-2}{2}\end{array}\right.$
此時(shí)不存在滿足條件的a值；
③若a≥1，則x∈[-2，1]時(shí)，f（x）=（x+2）²（a-x）-4，
∵f′（x）=-[3x²+（8-2a）x+（4-4a）]，
此時(shí)x=$\frac{a-4}{3}$≤-2，f′（-2）=0，
故f′（x）=-[3x²+（8-2a）x+（4-4a）]≤0恒成立，
故不滿足函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增．
綜上所述，a≤-2，

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的極值和單調(diào)性，難度比較大．