【題目】已知函數為的導函數.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)若函數在上存在最大值0,求函數在[0,+∞)上的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先求導,再分類討論,即可求出g(x)的單調區(qū)間,(2)由(1)可知,a>0且 g(x)在 x=﹣lna處取得最大值,即構造函數 h(a)=a﹣lna﹣1(a>0),根據導數求出函數的最值,可知f(x)在[0,+∞)上單調遞減,即可求解最大值
(1)由題意可知,g(x)=f'(x)=x+a﹣aex,則g'(x)=1﹣aex,
當a≤0時,g'(x)>0,∴g(x)在(﹣∞,+∞)上單調遞增;
當a>0時,解得x<﹣lna時,g'(x)>0,x>﹣lna時,g'(x)<0
∴g(x)在(﹣∞,﹣lna)上單調遞增,在(﹣lna,+∞)上單調遞減
綜上,當a≤0時,g(x)的單調遞增區(qū)間為(﹣∞,+∞),無遞減區(qū)間;
當a>0時,g(x)的單調遞增區(qū)間為 (﹣∞,﹣lna),單調遞減區(qū)間為(﹣lna,+∞).
(2)由(1)可知,a>0且 g(x)在 x=﹣lna處取得最大值,
,即a﹣lna﹣1=0,
觀察可得當a=1時,方程成立
令 h(a)=a﹣lna﹣1(a>0),
當 a∈(0,1)時,h'(a)<0,當a∈(1,+∞)時,h'(a)>0
∴h(a)在(0,1)上單調遞減,在 (1,+∞)單調遞增,
∴h(a)≥h(1)=0,
∴當且僅當a=1時,a﹣lna﹣1=0,
∴,由題意可知 f'(x)=g(x)≤0,f(x)在[0,+∞)上單調遞減,
∴f(x)在x=0處取得最大值f(0)=﹣1
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】2019年是新中國成立七十周年,新中國成立以來,我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展,尤其是黨的十八大以來,文化事業(yè)發(fā)展更加迅速,下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業(yè)機構數(個)與對應年份編號的散點圖(為便于計算,將 2013 年編號為 1,2014 年編號為 2,…,2018年編號為 6,把每年的公共圖書館業(yè)機構個數作為因變量,把年份編號從 1 到 6 作為自變量進行回歸分析),得到回歸直線,其相關指數,給出下列結論,其中正確的個數是( )
①公共圖書館業(yè)機構數與年份的正相關性較強
②公共圖書館業(yè)機構數平均每年增加13.743個
③可預測 2019 年公共圖書館業(yè)機構數約為3192個
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直. ,,.
(1)求證:;
(2)求證:平面平面;
(3)線段上是否存在點,使平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠C=,AC=BC,M、N分別是BC、AB的中點,將△BMN沿直線MN折起,使二面角B′﹣MN﹣B的大小為,則B'N與平面ABC所成角的正切值是( 。
A. B. C. D.
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【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線,它由德國機械工程專家,機構運動學家勒洛首先發(fā)現,其作法是:以等邊三角形每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形,現在勒洛三角形中隨機取一點,則此點取自正三角形外的概率為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(1)若函數與的圖象上存在關于原點對稱的點,求實數的取值范圍;
(2)設,已知在上存在兩個極值點,且,求證:(其中為自然對數的底數).
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