Question

4．在△ABC中，$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{3}$=$\frac{{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}}}{2}$=$\frac{{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}}}{1}$，則sinA：sinB：sinC=（　　）

• A． 5：3：4
• B． 5：4：3
• C． $\sqrt{5}$：$\sqrt{3}$：2
• D． $\sqrt{5}$：2：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得2a²+2c²-2b²=3a²+3b²-3c²=6b²+6c²-6a²=k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值．

解答 解：△ABC中，∵$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{3}$=$\frac{{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}}}{2}$=$\frac{{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}}}{1}$，
∴$\frac{AB•BC•cos（π-B）}{3}$=$\frac{BC•CA•cos（π-C）}{2}$=$\frac{CA•AB•cos（π-A）}{1}$，
即 $\frac{ac•cosB}{3}$=$\frac{ab•cosC}{2}$=$\frac{bc•cosA}{1}$，
即$\frac{ac}{3}•\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ab}{2}•\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=bc•$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，
即 2a²+2c²-2b²=3a²+3b²-3c²=6b²+6c²-6a²，
設(shè)2a²+2c²-2b²=3a²+3b²-3c²=6b²+6c²-6a²=k，
求得 a²=5k，b²=3k，c²=4k，
∴a=$\sqrt{5k}$，b=$\sqrt{3k}$，c=$\sqrt{4k}$=2$\sqrt{k}$，
∴由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=$\sqrt{5}$：$\sqrt{3}$：2，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，正弦定理，屬于中檔題．