Question

已知n∈N^*，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，函數(shù)f（x）=

1

3

x3-(an+n+3)x2+2(2n+6)anx，若x=a_n+1是f（x）的極小值點(diǎn)，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（　�。�

• A、a_n=

  1，n=1 2n+4，n≥2

• B、an=2n-1
• C、an=

  1    n=1 2n   n≥2

• D、an=

  1    n=1 2n+1  n≥2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：f'（x）=x²-2（a_n+n+3）x+2（2n+6）a_n=（x-2a_n）[x-（2n+6）]，當(dāng)2a_n＜2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為a_n+1=2n+6；當(dāng)2a_n＞2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為a_n+1=2a_n，比較2a_n與2n+6的大小即可得出．

解答： 解：f'（x）=x²-2（a_n+n+3）x+2（2n+6）a_n=（x-2a_n）[x-（2n+6）]
當(dāng)2a_n＜2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為a_n+1=2n+6
當(dāng)2a_n＞2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為a_n+1=2a_n
比較2a_n與2n+6的大�。�
當(dāng)n=1時(shí)2n+6=8＞2a₁=2，∴a2=8=23；
當(dāng)n=2時(shí)2n+6=10＜2a₂=16，∴a3=2a2=24；
當(dāng)n=3時(shí)2n+6=12＜2a₃=32，∴a4=2a3=25；
用數(shù)學(xué)歸納法可證明：當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n＞2n+6．
故an=

1    n=1 2n+1  n≥2

，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)極值點(diǎn)概念和求法、數(shù)列的概念、等差等比數(shù)列的判斷，以及分類(lèi)討論的思想和代數(shù)推理的能力，屬于中檔題．