14.已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,a1+a2=20,a3=64,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,bn=log2an
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:對(duì)任意的n∈N*,數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}為遞減數(shù)列.

分析 (Ⅰ)由題意知$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=20\\{a_1}{q^2}=64\end{array}\right.$,從而求通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}({4^n})=2n$,從而可得${S_n}=\frac{2+2n}{2}×n={n^2}+n$,$\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$;從而利用作差法判斷為遞減數(shù)列.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
則$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=20\\{a_1}{q^2}=64\end{array}\right.$,
解得q=4或$q=-\frac{4}{5}$(舍去),a1=4;
故${a_n}=4×{4^{n-1}}={4^n}$.
(Ⅱ)證明:∵${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}({4^n})=2n$,
∴{bn}是以b1=2為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列.
∴${S_n}=\frac{2+2n}{2}×n={n^2}+n$,$\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$;
∵$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{{(n+1)}^2}+(n+1)}}{{{4^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$
=$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}[{(n+1)^2}+(n+1)-4({n^2}+n)]$
=$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}(-3{n^2}-n+2)$;
∵$\frac{-(3n-2)(n+1)}{{{4^{n+1}}}}<0$,
∴$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}(-3{n^2}-n+2)<0$,
∴數(shù)列 $\left\{{\frac{S_n}{a_n}}\right\}$為遞減數(shù)列.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用及等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì),同時(shí)考查了作差法的應(yīng)用,屬于中檔題.

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