Question

14．已知{a_n}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁+a₂=20，a₃=64，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，b_n=log₂a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：對任意的n∈N^*，數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}為遞減數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=20\\{a_1}{q^2}=64\end{array}\right.$，從而求通項公式；
（Ⅱ）化簡${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}（{4^n}）=2n$，從而可得${S_n}=\frac{2+2n}{2}×n={n^2}+n$，$\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$；從而利用作差法判斷為遞減數(shù)列．

解答 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=20\\{a_1}{q^2}=64\end{array}\right.$，
解得q=4或$q=-\frac{4}{5}$（舍去），a₁=4；
故${a_n}=4×{4^{n-1}}={4^n}$．
（Ⅱ）證明：∵${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}（{4^n}）=2n$，
∴{b_n}是以b₁=2為首項，以2為公差的等差數(shù)列．
∴${S_n}=\frac{2+2n}{2}×n={n^2}+n$，$\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$；
∵$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{{（n+1）}^2}+（n+1）}}{{{4^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{4^n}$
=$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}[{（n+1）^2}+（n+1）-4（{n^2}+n）]$
=$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}（-3{n^2}-n+2）$；
∵$\frac{-（3n-2）（n+1）}{{{4^{n+1}}}}＜0$，
∴$\frac{1}{{{4^{n+1}}}}（-3{n^2}-n+2）＜0$，
∴數(shù)列 $\left\{{\frac{S_n}{a_n}}\right\}$為遞減數(shù)列．

點評 本題考查了對數(shù)運算的應用及等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質，同時考查了作差法的應用，屬于中檔題．