Question

15．函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（ω＞0），其最小正周期為π
（1）求ω
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可．
（2）求出角2x+$\frac{π}{3}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2ωx）+$\frac{1}{2}$sin2ωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）
∵函數(shù)f（x）最小正周期是π，
∴P=$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1；
（2）∵ω=1，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}$]，
則-$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值為y=sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及三角函數(shù)的周期公式，利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．