Question

3．設(shè)a＞0，若$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1+a+{a}^{2}+…{a}^{n-1}}$$≤\frac{1}{2}$，則a的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，分別對(duì)分子、分母求和，注意對(duì)a討論，a=1，0＜a＜1，a＞1三種情況，由數(shù)列極限公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$，
當(dāng)a=1時(shí)，1+a+a²+…+a^n-1=n，
即有$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n•{2}^{n}}$）=0＜$\frac{1}{2}$成立；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1+a+a²+…+a^n-1=$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}$，
可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}$=$\frac{1}{1-a}$，$\underset{lim}{n→∞}$（2-$\frac{2}{{2}^{n}}$）=2，
可得2（1-a）≤$\frac{1}{2}$，解得a≥$\frac{3}{4}$，
則有$\frac{3}{4}$≤a＜1；
當(dāng)a＞1時(shí)，1+a+a²+…+a^n-1=$\frac{{a}^{n}-1}{a-1}$，
可得$\underset{lim}{n→∞}$[$\frac{2a-2}{{a}^{n}-1}$-$\frac{2a-2}{{2}^{n}（{a}^{n}-1）}$]=0＜$\frac{1}{2}$成立．
綜上可得，a的范圍是[$\frac{3}{4}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{3}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列極限的求法，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，以及分類討論的思想方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．