Question

11．已知三棱錐三視圖如圖所示，其中俯視圖是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，則該幾何體的外接球的體積為（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 16π

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可得正視圖底邊對應棱的中點，到三棱錐各個頂點的距離相等，進而求出球半徑，可得表面積．

解答 解：由已知中的三視圖，可得該幾何體的直觀圖如下圖所示：

取AB的中點F，AF的中點E，
由三視圖可得：AB垂直平面CDE，且平面CDE為$\sqrt{3}$的正三角形，AB=1+3=4，
∴AF=BF=2，EF=1，
∴CF=DF=$\sqrt{{1}^{2}+{\sqrt{3}}^{2}}$=2，
故F即為棱錐外接球的球心，半徑R=2，
故外接球的體積S=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{22}{3}$π，
故選：B

點評 本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關鍵．